计算机图形和几何处理研究提供了模拟火和火焰等物理现象所需的工具，有助于在视频游戏和电影中创建视觉效果以及使用3D打印等工具制作复杂的几何形状。

解决抛物线偏微分方程的框架可以指导计算机图形学和几何处理

在这些自然过程背后，数学问题(称为偏微分方程(PDE))为这些过程建模。在物理学和计算机图形学中使用的众多PDE中，有一种称为二阶抛物线PDE的方程解释了现象如何随着时间的推移变得平滑。这类方程中最著名的例子是热方程，它预测热量如何随时间沿表面或体积扩散。

几何处理领域的研究人员设计了许多算法来解决曲面上的这些问题，但他们的方法通常仅适用于线性问题或单个PDE。麻省理工学院计算机科学与人工智能实验室(CSAIL)的研究人员提出了一种更通用的方法，可以解决这类潜在非线性问题的一般类别。

在最近发表在ACMTransactionsonGraphics杂志上并在SIGGRAPH会议上发表的一篇论文中，他们描述了一种算法，该算法通过将三角形网格上的不同非线性抛物线PDE拆分为三个更简单的方程来解决这些方程，这些方程可以使用图形研究人员在其软件工具包中已有的技术来解决。该框架可以帮助更好地分析形状和模拟复杂的动态过程。

“我们提供了一个方法：如果你想用数字方法求解二阶抛物线PDE，你可以遵循三个步骤，”主要作者LeticiaMattosDaSilva说道，她是麻省理工学院电气工程与计算机科学(EECS)博士生和CSAIL成员。“对于这种方法的每个步骤，你都在使用几何处理中更简单的工具来解决一个更简单的问题，但最终，你会得到更具挑战性的二阶抛物线PDE的解决方案。”

为了实现这一目标，MattosDaSilva和她的合著者使用了Strang分裂，这项技术允许几何处理研究人员将PDE分解为他们知道如何有效解决的问题。

首先，他们的算法通过求解热方程(也称为“扩散方程”)来推进解决方案，该方程模拟了来自源的热量如何扩散到形状上。想象一下使用喷灯加热金属板——这个方程描述了来自该点的热量如何扩散到该形状上。这一步可以用线性代数轻松完成。

现在，假设抛物线PDE具有额外的非线性行为，这些行为无法通过热扩散来描述。这就是算法的第二步：它通过求解Hamilton-Jacobi(HJ)方程(一阶非线性PDE)来解释非线性部分。

虽然一般的HJ方程很难求解，但MattosDaSilva和合著者证明，将他们的分裂方法应用于许多重要的PDE可以得到一个HJ方程，该方程可以通过凸优化算法求解。凸优化是一种标准工​​具，几何处理研究人员已经拥有高效可靠的软件。在最后一步，该算法再次使用热方程将解决方案向前推进，从而将更复杂的二阶抛物线PDE向前推进。

在其他应用中，该框架可以帮助更有效地模拟火灾和火焰。“有一个巨大的管道可以创建一个模拟火焰的视频，但它的核心是一个PDE求解器，”MattosDaSilva说。对于这些管道，一个必不可少的步骤是求解G方程，这是一个非线性抛物线PDE，它模拟火焰的前沿传播，可以使用研究人员的框架进行求解。

该团队的算法还可以在对数域中求解扩散方程，在该域中扩散方程变为非线性。资深作者、EECS副教授兼CSAIL几何数据处理小组负责人JustinSolomon之前曾开发出一种最先进的最佳传输技术，该技术需要对热扩散结果取对数。

MattosDaSilva的框架通过直接在对数域中进行扩散，提供了更可靠的计算。例如，这可以更稳定地找到表面网格上分布(如考拉模型)中平均几何概念。

尽管他们的框架侧重于一般的非线性问题，但它也可以用于解决线性PDE。例如，该方法解决了福克-普朗克方程，其中热量以线性方式扩散，但还有一些附加项沿热量扩散的方向漂移。在一个简单的应用中，该方法模拟了漩涡在三角球体表面上的演变方式。结果类似于紫色和棕色的拿铁艺术。

研究人员指出，该项目是解决图形和几何处理中出现的其他PDE中的非线性问题的起点。例如，他们专注于静态表面，但也希望将他们的工作应用于移动表面。此外，他们的框架解决了涉及单个抛物线PDE的问题，但该团队还希望解决涉及耦合抛物线PDE的问题。这些类型的问题出现在生物学和化学中，其中描述混合物中每种药剂演变的方程与其他方程相关联。