暑假即将结束，对许多人来说，回家的路途漫长，需要依靠GPS设备才能安全回家。但GPS设备时不时会给出奇怪的方向建议，或者短暂地混淆您的位置。但到目前为止，没有人确切知道卫星何时处于足够好的位置，以便GPS系统提供可靠的方向。

数学家推翻GPS假设并提出改进建议

慕尼黑工业大学的MireilleBoutin和她的同事GregorKemper利用数学来帮助确定你的GPS系统是否有足够的信息来准确确定你的位置。这项研究发表在《应用数学进展》杂志上。

“200米后右转。”这是许多人从全球定位系统(GPS)中听到的典型指令。

毫无疑问，GPS技术和移动导航应用的进步帮助GPS在现代汽车旅行中发挥了重要作用。

但是，严格遵守GPS设备的指示可能会导致不良情况。不太严重的情况可能是左转而不是右转，而更严重的情况可能是将车开进港口——就像2023年两名游客在夏威夷所做的那样。后一个事件完全是例外，人们可能会想：“这种情况发生的频率有多高，为什么会发生?”

GPS和您的能见度

“GPS系统的核心是在20世纪60年代中期开发的。当时，其背后的理论并不能保证给出的位置是正确的，”数学和计算机科学系教授Boutin说道。

因此，当你得知计算物体在地球上的位置依赖于一些巧妙的数学原理时，你就不会感到惊讶了。这些数学原理自早期以来就没有发生过太大的变化。这些是我们使用的GPS系统的核心。它值得更新。

因此，布廷与慕尼黑工业大学的同事格雷戈尔·肯珀(GregorKemper)一起，利用数学来扩展GPS系统背后的理论，他们的研究结果最近发表在《应用数学进展》杂志上。

GPS如何工作?

在揭示Boutin和Kemper的重大发现之前，GPS究竟是如何工作的呢?

全球定位就是利用卫星发送的信号来确定地球上设备的位置。卫星发送的信号携带两个关键信息——卫星在太空中的位置和卫星发送位置的时间。顺便说一下，时间是由卫星上一个非常精确的时钟记录的，通常是原子钟。

由于原子钟的存在，卫星可以发来非常准确的时间，但最大的问题在于用户设备中时钟的准确性——无论是GPS导航设备、智能手机还是跑步手表。

“实际上，GPS结合了精确和不精确的信息来确定设备的位置，”Boutin说。“GPS可能被广泛使用，但我们找不到任何理论基础来保证从卫星信号获得的位置是唯一且准确的。”

谷歌说“四”

如果您在Google上快速搜索GPS导航所需的最少卫星数量，多个来源都报告说您至少需要四颗卫星。

但问题不仅在于你能看到多少颗卫星，还在于它们能形成什么样的排列?对于某些排列，确定用户位置是不可能的。但究竟是什么排列?这就是研究人员想要找出的。

“我们在科学论文中发现的猜想似乎被广泛接受，但我们在任何地方都找不到任何严谨的论据来支持它们。因此，我们认为，作为数学家，我们可能能够填补这一知识空白，”布丁说。

为了解决这个问题，Boutin和Kemper将GPS问题简化为实践中效果最佳的问题：关于未知变量的线性方程。

“线性方程组是我们所能期望的最简单的方程形式。说实话，我们很惊讶这组用于解决GPS问题的简单线性方程组竟然还不为人所知，”Boutin补充道。

唯一性问题

在准备好线性方程后，Boutin和Kemper仔细研究了方程的解，特别关注方程是否给出了唯一的解。

“唯一解意味着方程的唯一解是用户的实际位置，”Boutin指出。

如果方程有多个解，那么只有一个是正确的，也就是真实的用户位置，但GPS系统不知道选择哪一个，因此可能会返回错误的解。

研究人员发现，当卫星位于一种被称为“双叶旋转双曲面”的特殊结构中时，可能会出现非唯一的解。

“有多少颗卫星发送信号并不重要——如果它们都位于其中一个双曲面上，那么方程就可能有两个解，因此GPS选择的那个解可能是错误的，”Boutin说。

但是，有人说至少需要四颗卫星才能确定你的位置，这又该如何解释呢?Boutin指出：“四颗卫星确实可以，但解决方案并不总是唯一的。”

为什么数学很重要

对于布丁来说，这项工作展示了数学的力量和应用。

“我个人很喜欢数学，因为它是一种非常强大的工具，具有许多实际应用，”Boutin说。“我认为非数学家可能不太容易看出其中的联系，因此，找到数学可以发挥作用的日常问题的清晰且令人信服的例子总是令人欣慰的。”

Boutin和Kemper的研究核心是代数几何领域，其中抽象代数方法用于解决几何和现实世界的问题。

“代数几何是数学中被认为非常抽象的一个领域。我很高兴能意识到，任何数学，无论它多么抽象，在某些时候都可能具有实际应用，”布丁说。