融合人工智能和人类努力解决复杂的数学问题

通过快速分析大量数据并做出准确预测，人工智能 (AI) 工具可以帮助解答许多长期存在的研究问题。例如，它们可以帮助识别制造电子产品的新材料或与特定人类行为相关的大脑活动模式。

到目前为止，人工智能很少应用的一个领域是数论，这是数学的一个分支，专注于研究整数和算术函数。该领域的大多数研究问题都是由人类数学家解决的，通常是在最初引入数年或数十年后。

以色列理工学院 (Technion) 的研究人员最近着手探索使用最先进的计算模型解决数论中长期存在的问题的可能性。

在最近发表在《美国国家科学院院刊》上的一篇论文中，他们证明了这种计算方法可以支持数学家的工作，帮助他们取得令人兴奋的新发现。

论文作者 Rotem Elimelech 和 Ido Kaminer 告诉 Phys.org： “计算机算法在科学研究中越来越占据主导地位，这种做法现在被广泛称为‘科学人工智能’。”

“然而，在数论等领域，进步往往归功于创造力或人类的直觉。在这些领域，问题可能几百年都无法解决，虽然找到答案可能就像找到正确的公式一样简单，但没有明确的途径。”

Elimelech、Kaminer 及其同事一直在探索计算机算法可以自动化或增强数学直觉的可能性。这启发他们成立了 Ramanujan Machine 研究小组，这是一项新的合作计划，旨在开发算法以加速数学研究。

这项研究的研究小组还包括 Ofir David、Carlos de la Cruz Mengual、Rotem Kalisch、Wolfram Berndt、Michael Shalyt、Mark Silberstein 和 Yaron Hadad。

“从哲学层面上讲，我们的工作探索了算法和数学家之间的相互作用，”Elimelech 和 Kaminer 解释道。“我们的新论文确实表明，算法可以提供必要的数据来激发创造性的洞察力，从而发现新的公式和数学常数之间的新联系。”

Elimelech、Kaminer 及其同事最近研究的首要目标是对数学常数做出新的发现。在努力实现这一目标的同时，他们还着手测试和推广纯数学研究的替代方法。

“‘保守矩阵场’是一种类似于保守矢量场的结构，每个数学或物理专业的学生在本科一年级都会学习这种结构，”Elimelech 和 Kaminer 解释道。“在保守矢量场中，例如带电粒子产生的电场，我们可以使用线积分来计算电位的变化。

“类似地，在保守矩阵场中，我们在离散空间上定义一个势，并通过矩阵乘法而不是使用线积分来计算它。在两点之间旅行相当于计算势的变化，它涉及一系列矩阵乘法。”

相对于保守向量场，所谓的保守矩阵场是一个新的发现，这种结构的一个重要优点是可以推广各个数学常数的公式，从而生成无穷多个同类的新公式。

“保守矩阵场创建公式的方式是在两点之间移动(或者实际上是在离散空间内从一个点一直移动到无穷远)，”Elimelech 和 Kaminer 说道。“找到同样保守的非平凡矩阵场是一项挑战。”

作为研究的一部分，Elimelech、Kaminer 及其同事使用了大规模分布式计算，这需要使用多个互连节点共同解决复杂问题。这种方法使他们能够发现收敛到基本常数(即这些常数的公式)的新有理序列。

“每个序列都代表着保守矩阵场中隐藏的一条路径，”Elimelech 和 Kaminer 解释道。“从这些路径的多样性中，我们对保守矩阵场进行了逆向工程。我们的算法使用BOINC进行分发，这是一种志愿者计算基础设施。我们感谢全球数百名用户在过去两年半中贡献的计算时间，使这一发现成为可能。”

以色列理工学院研究团队最近的研究表明，使用计算工具和算法为他们提供“虚拟实验室”，数学家可以受益匪浅。这样的实验室提供了在计算机中试验想法的机会，类似于物理学和其他科学领域中的真实实验。具体来说，算法可以进行数学实验，提供可用于制定新数学假设的公式。

“这些假设或猜想推动了数学研究的进步，”Elimelech 和 Kaminer 说道。“支持假设的例子越多，它就越有力，正确的可能性也就越大。算法还可以发现异常，指出新假设的基石。如果没有使用分布式计算的大规模数学实验，这样的发现是不可能的。”

这项最新研究的另一个有趣之处是，它展示了建立社区解决问题的优势。事实上，研究人员从项目初期就在网上发布了他们的代码，并依靠大量志愿者的贡献。

“我们的研究表明，科学研究可以在没有超级计算机独占使用权的情况下进行，这朝着科学研究的民主化迈出了实质性的一步，”Elimelech 和 Kaminer 表示。“我们定期发布由我们的算法生成的未经证实的假设，挑战其他数学爱好者尝试证明这些假设，这些假设在得到验证后会发布在我们的项目网站上。到目前为止，这种情况已经发生过几次了。社区贡献者之一 Wolfgang Berndt 参与其中，他现在已成为我们核心团队的一员，也是这篇论文的合著者。”

这项研究的协作性和开放性使 Elimelech、Kaminer 和团队的其他成员能够与世界各地的其他数学家建立新的合作关系。此外，他们的工作引起了一些儿童和年轻人的兴趣，向他们展示了如何以令人着迷的方式将算法和数学结合起来。

在接下来的研究中，研究人员计划进一步发展保守矩阵场理论。这些矩阵场是生成基本常数无理证明的强大工具，Elimelech、Kaminer 和团队计划继续进行实验。

“我们目前的目标是解决那些著名常数的无理性问题，这些常数的无理性尚不清楚，有时仍然是一个悬而未决的问题超过一百年，就像加泰罗尼亚常数的情况一样，”埃利米莱奇和卡米纳说。

“另一个例子是黎曼 zeta 函数，它是数论的核心，其零点是黎曼假设的核心，这也许是纯数学中最重要的未解问题。关于这个函数的值有很多悬而未决的问题，包括其值的无理性。具体来说，ζ(5) 是否无理是一个悬而未决的问题，吸引了众多伟大数学家的努力。”

该研究团队的最终目标是成功利用他们的实验数学方法证明其中一个常数的无理性。未来，他们还希望系统地将他们的方法应用于更广泛的数学和物理学问题。他们受物理学启发的动手研究风格源于该团队的跨学科性质，该团队结合了计算机科学、电子工程、数学和物理学方面的专业人士。

“我们的拉马努金机器小组可以帮助其他研究人员为他们的重要问题创建搜索算法，然后使用分布式计算在无法尝试的大空间中进行搜索，”Elimelech 和 Kaminer 补充道。“如果成功，每个这样的算法都将有助于指出数学中的新现象，并最终指出新的假设，从而帮助选择有希望的研究方向。我们现在正在考虑通过建立一个实验数学虚拟用户设施来推进这一战略，”这一策略的灵感来自实验物理用户设施的悠久历史和影响。