它不一定是飓风或海啸——即使是一个简单的自来水龙头在撞击水槽时也会产生冲击波。

科学家加强对强流现象的模拟

现在，在瑞士国家超级计算中心(CSCS)超级计算机“PizDaint”的帮助下，苏黎世联邦理工学院的数学家SiddharthaMishra正在努力克服当前模拟和理解高度湍流的障碍。

无论是雪崩、龙卷风、洪水，还是载着飞机的气流：流体流动无处不在。有时，这些流动非常湍急和强大。

“能够理解它们的性质对于许多技术过程和预测自然现象至关重要，”苏黎世联邦理工学院应用数学教授SiddharthaMishra说。米什拉最感兴趣的是涉及高湍流和冲击波的强大现象——例如爆炸物释放的冲击，或者当飞机超过音速产生音爆时。

他与他的团队一起研究此类流体流动并开发算法以在超级计算机模拟中更准确、更有效地表示它们。但更重要的是，这位数学家寻求扩展当前流体动力学模拟的基本限制。

简单方程的复杂性

事实上，描述流体的方程式早已为人所知：大约270年前，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)首次提出了这些方程式。他还没有考虑流体的粘度，但是尽管如此，他的偏微分方程仍然可以应用于许多粘度可以忽略不计的流动。

这些方程在纸面上看起来很简单，但由于它们描述的现象非常复杂，因此很难求解。“即使在今天，我们仍未完全理解它们，”米什拉说。

到目前为止，流体动力学专家实际上是在解决这些挥之不去的理解差距。他们在超级计算机上运行算法，使用数值方法计算方程解的近似值。

事实上，这种方法非常成功：它已被用于更好地理解飞机飞行或液体流过涡轮机等过程，以及预测气象现象。

Mishra的团队特别贡献了改进算法来模拟和预测外部页面海啸call_made和雪崩，以及外部页面模型超新星call_made。

然而，这些方法在数学上并不严格准确。而且，在某些情况下，它们已经达到了极限。“通常情况下，你会期望，如果你提高计算的分辨率，结果就会变得更准确，”米什拉说。

换句话说，包括更多的时间和空间点以减少误差应该改进近似值并更接近现实。但当涉及到高度湍流的流体时，情况并非如此，正如米什拉所证明的那样。

相反：在非常高分辨率下获得的结果与较低分辨率的结果完全无关——它们没有收敛，而是变得无法辨认。“这也意味着你不能再计算任何数量的预测，”数学家解释道。

随机扰动很有用

Mishra和他的团队一直在研究一种方法，通过使用所谓的统计解决方案在处理一些高度湍流的流体时克服这一限制。为此，他们首先通过在被调查的流程中引入许多微小的扰动来随机化问题，然后分析平均结果。

正如科学家们发现的那样，这些平均值确实会与更高的分辨率收敛。“这是统计解决方案的基础，”米什拉解释道。

“如果实验的个别实现不收敛，你就会查看这些数量的平均值。然后这些开始变得越来越趋同。”简而言之：“当表现湍流时，是细节毁了你。这就是为什么从平均值开始你会看到更多的结构。”这种影响不仅适用于数量本身，如密度，还适用于它的方差和概率分布，正如Mishras小组已经建立的那样。

使事情变得更加复杂的是，我们还必须考虑空间中不同点的流的统计特性并不是相互独立的。例如，在气象学中，苏黎世的温度不仅会影响附近的站点，还会影响远处的站点，例如慕尼黑的温度。

“这就是为什么我们不检查单个点，而是必须考虑点之间的相关性，”Mishra说。“而且由于我们谈论的是复杂的非线性问题，这些多点相关性变得极其复杂。”

解决湍流和爆炸性问题

那么，该理论的证明呢?“我们还没有一个全面的定理，但我们可以计算出这样的统计解决方案，”米什拉说。“到目前为止，我们对二维流所做的每项测试预测都已通过验证。”无论是均值、方差、概率分布、相关性、函数——随着分辨率收敛，所有统计数据也收敛，得到的解是稳定的。

在2-D计算之后，Mishra的团队对“PizDaint”进行了3-D模拟。然而，3-D计算的成本要高得多：最初，点网格大小为1024x1024x1024的单个集成运行需要3000个节点小时的运行时间，相当于150万美元的成本。

最近，科学家们优化了他们的代码以有效地使用“PizDaint”的GPU。有了这个，他们将计算速度提高了十倍以上，将运行时间减少到大约250个节点小时。

在模拟实验中，首先将流体虚拟地包含在管子中，在管子上施加剪切力以模拟所谓的开尔文-亥姆霍兹不稳定性的起源。这些不稳定性会导致特定的湍流涡流，例如蜡烛的烟雾、某些云的形成或行星大气中的气体形成。

同样，结果表明，仅查看单个模拟显示是没有收敛性的。“但是，当你使用大量模拟的统计特性(例如平均值、方差和概率)时，解会收敛，”Mishra证实道。

从假设到实验再到定理

他的团队最近在“PizDaint”上对另一种现象进行了类似的模拟，即所谓的Richtmeyer-Meshkov不稳定性。这是天体物理学中常见的不稳定性，当冲击波撞击不同流体的界面时就会发生。

“这是一种类似于爆炸的剧烈现象，”米什拉解释道。该团队的模拟和分析再次表明，许多模拟的统计解决方案随着分辨率的增加而收敛，而个别模拟则没有。

“在计算方面，我们大多了解正在发生的事情，”米什拉总结道。“我们已经通过实验验证了我们关于统计解决方案有用性的假设，这帮助我们建立了很多直觉。

但现在我们必须改用笔和纸来严格证明我们的假设的数学性，并建立一个基于数学基本公理的定理。”对于像Mishra这样的数学家来说，这是势在必行的：真理的终极层次。